快速计算秩分布矩阵和广义布鲁哈分解
摘要：矩阵的行（列）秩分布描述了其行（列）梯形形式的阶梯形状。我们在这里提出了一种新的矩阵不变量，称为秩分布矩阵，总结了所有前导子矩阵的行和列秩分布的信息。我们证明了这个正规形式在任何环上存在且唯一，前提是在存在零除子的情况下使用McCoy的秩的概念。然后，我们通过对应的PLUQ分解探索了高斯消元算法计算这个不变量的全部或部分的条件。这扩大了已知的计算行或列秩分布的消元变体集合。作为一个结果，一种新的Crout基线案例变体显著提高了先前已知实现在有限域上的实际效率。对于非常小秩的矩阵，我们还将Storjohann和Yang的技术推广到计算秩分布矩阵，对于一个$m \times n$的秩为$r$的矩阵，实现时间复杂度为$(r^\omega+mn)^{1+o(1)}$，其中$\omega$是矩阵乘法的指数。最后，通过给出与Bruhat分解以及其多种变体和推广之间的联系，我们的PLUQ分解的算法改进及其实现直接适用于这些分解。特别地，我们展示了一个揭示秩分布矩阵的PLUQ分解同时也通过简单的后处理（行和列置换）揭示了输入矩阵或其任何前导子矩阵的行和列梯形形式。
作者：Jean-Guillaume Dumas (CASYS), Clement Pernet (ARIC, MOAIS, LMC - IMAG), Ziad Sultan (MOAIS)
论文ID：1601.01798
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2018-05-16