极小莫尔斯：可近似性和应用
摘要：通过提供一个时间复杂度为$O(N)$的算法和一个$O(log^2(N))$的近似比，我们解决了Joswig等人提出的开放问题，这个问题是最小Morse无匹配问题(MMUP)。设$Lambda$为最优离散Morse函数的关键细胞数量，$N$为正则细胞复合体K的总细胞数量。MMUP的目标是找到给定复合体K的$Lamba$。首先，我们对MMUP进行一个近似保持的图缩减，得到一个新问题，即最小偏序问题(min-POP)(最小反馈弧集问题的严格推广)。这个缩减涉及到引入刚性边，这些边在输出解中要求严格包含。为了解决min-POP，我们使用了Leighton-Rao的分治范式来解决含有刚性边的SDP问题（最小有向平衡割问题），我们的第一个算法是将Agarwal等人的舍入过程推广到处理含有刚性边的ARV算法的有向图形式的情况。我们的第二个算法是将Arora等人的原始对偶MWUM问题适应到解决min-DBCRE SDP问题的情况。在应用方面，我们在拓扑特征的大小明显小于复合体的大小的条件下获得了以下结果：(a)一个时间复杂度为$O(N)$的算法，用于计算一个单纯复合体K的同调群$H\_i(K, A)$，其中A是一个任意的阿贝尔群；(b)一个时间复杂度为$O(N^2)$的算法，用于计算持久同调；(c)一个时间复杂度为$O(N)$的算法，用于计算与输入标量函数相容的最优离散Morse-Witten函数。这些都是我们在上述条件下得到的已知最好的时间复杂度。这样的假设在应用场景中是现实的，并且经常是现代大规模数据集的特征。
作者：Abhishek Rathore
论文ID：1503.03170
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2022-02-10