线性汉克尔矩阵中等级缺陷的实根求解
摘要：通过Hankel结构定义的矩阵H\_0, ..., H\_n，大小为$m\times m$，矩阵元素为$QQ$（有理数），我们考虑线性Hankel矩阵$H(vecx)=H\_0+X\_1H\_1+...+X\_nH\_n$以及计算每个满足秩约束${sf rank}(H(vecx))\leq r$的实代数集中的样本点的问题，其中$r$为给定的整数，满足$r \leq m-1$。计算线性矩阵中秩缺陷所定义的实代数集中的样本点是一个一般性问题，在控制理论、计算几何、优化等许多领域都有应用。此外，Hankel矩阵在工程科学的许多领域中出现。由于Hankel矩阵是对称的，因此对于这个问题的任何算法都可以看作是解决半定规划问题，即线性矩阵不等式的专用精确算法的第一步。在输入上具有一些泛化性的假设（例如关联变量的光滑性）下，我们设计了一个概率算法来解决这个问题。它是所谓的关键点方法的一种调整，充分利用了问题的特殊结构。算法的复杂性反映了这一点：对于关联变量的特定度数上界，它在本质上是二次的。我们报告了实际实验，并分析了算法如何利用这种特殊结构。首次实现的性能优于现有的计算一般实代数集中样本点的实现：它处理了现有技术所无法达到的例子。
作者：Didier Henrion (LAAS), Simone Naldi (LAAS), Mohab Safey El Din (Syst`emes Polynomiaux, LIP6)
论文ID：1502.02473
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2015-02-10