计算加权齐次系统的Gröbner基的复杂性
摘要：加权齐次性和多项式系统的解决方案结构相辅相成。对于具有给定权重$W=(w_1,\dots,w_n)$的加权齐次多项式，其在加权次数$deg_W(X_1^{α_1},\dots,X_n^{α_n})=∑w_iα_i$方面是齐次的。加权齐次系统的Gröbner基可以通过将现有算法适应到加权齐次情况来计算。我们证明，在这种情况下，算法F5的复杂性估计$\binom{n+d_{max}-1}{d_{max}}^{ω}$可以除以因子$\left(\prod w_i\right)^ω$。对于零维系统，算法FGLM的复杂性$D^n$（其中$D$是系统的解数量）可以通过相同因子$\left(\prod w_i\right)^ω$除以。在一般性假设下，对于加权齐次$W$-次数为$(d_1,\dots,d_n)$的零维加权齐次系统，这些复杂性估计在加权Bézout界$\prod_{i=1}^{n}d_i / \prod_{i=1}^{n}w_i$中是多项式的。此外，算法F5运行期间达到的最大次数被加权Macaulay界$∑(d_i-w_i)+w_n$限制，如果我们可以按照$w_n=1$的顺序排序权重，则该界是紧的。对于超定半正则系统，可以将来自齐次情况的估计适应到加权情况。我们提供了一些基于密码学问题和多项式求逆问题的系统的实验结果。结果显示，利用加权齐次结构可以大大加快速度，并且可以解决以前无法解决的系统。
作者：Jean-Charles Faug`ere (PolSys), Mohab Safey El Din (PolSys), Thibaut Verron (LIP6, PolSys)
论文ID：1412.7547
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2015-12-22