自适应八叉树有限元方法求解面上的偏微分方程
摘要：在$mathbb{R}^N$中, $N=2,3$，本文开发了一种有限元方法用于在超曲面上提出的偏微分方程。该方法使用嵌入在体积域中的曲面上的体积有限元函数的迹。体积有限元空间在八叉树网格上定义，该网格根据误差指示器和曲面曲率的估计值进行局部细化或粗化。体网格的笛卡尔结构导致了简单和高效的自适应过程，而迹有限元方法使得不需要将网格调整到曲面上。在计算中涉及的自由度数量与曲面PDE的二维性质一致。不需要曲面的参数化，可以通过级集函数隐式给出。在实践中，使用了行进立方体方法的变体以获得二阶精度的曲面回复。我们证明了对于具有光滑解和准均匀网格细化问题的迹有限元方法在$H^1$和$L^2$曲面范数中的最优精度。与不太规则的问题的实验证明了与自由度数量相关的最优收敛性，如果基于适当的误差指示器进行网格适应。该论文展示了各种几何和问题的数值实验结果，包括在曲面上的对流扩散方程。本文的分析和数值结果表明，笛卡尔自适应网格和不完整(迹)有限元相结合，为在曲面上提出的PDE的数值处理提供了简单、高效和可靠的工具。
作者：Alexey Y. Chernyshenko, Maxim A. Olshanskii
论文ID：1408.3891
分类：Numerical Analysis
分类简称：math.NA
提交时间：2023-07-19