稀疏 Gröbner 基：非混合情况
摘要：稀疏消元理论是在过去几十年中发展起来的一个框架，用于利用Laurent多项式系统中的单项式结构。简单来说，这相当于在一个"半群代数"中进行计算，即由Laurent单项式的子集生成的代数。为了在符号上解决稀疏系统，我们引入了"稀疏Gröbner基"，这是半群代数的经典Gröbner基的类比，并提出了计算它们的$F_5$和FGLM算法的稀疏变体。我们的"概念证明"原型实现显示出与优化（经典）Gröbner基软件相比的大幅加速（某些示例中超过100倍）。此外，在生成的单项式子集对应于正常格子多胞体$\mathcal{P}\subset\mathbb{R}^n$中具有整数坐标的点的情况下，并在正则性假设下，我们证明了复杂度上界取决于$\mathcal{P}$的组合性质。这些上界给出了解决所有多项式共享相同Newton多胞体（未混合情况）的$0$维系统的复杂度的新估计。例如，我们将$0$维双线性系统的Gröbner基的最大次数的界限$min(n_1,n_2)+1$推广到多线性情况下：$sum n_i - max(n_i)+1$。我们还提出了Fröberg猜想的一个变体，这使得我们可以估计求解超定稀疏系统的复杂度。
作者：Jean-Charles Faugere (INRIA Paris-Rocquencourt), Pierre-Jean Spaenlehauer (INRIA Nancy - Grand Est / LORIA), Jules Svartz (INRIA Paris-Rocquencourt)
论文ID：1402.7205
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2014-06-26