线性代数中基本最优的交互证书
摘要：证书对于线性代数计算来说是附加的数据结构，对于每个输出，可以由一个（可能是随机化的）验证算法使用，证明每个输出的正确性。如果验证的时间（和空间）复杂度基本上是与输入大小N成线性关系，即N乘以一个N^o(1)的因子，即一个N^eta(N)因子，并且当N趋于无穷时，lim_{N to infty} eta(N)=0,那么证书将是基本最佳的。我们给出了计算密集整数矩阵A的正半定性、Frobenius形式、特征多项式和最小多项式的基本最佳证书的算法。我们的证书可以在蒙特卡罗比特复杂度下进行验证（n^2 log|A|)^{1+o(1)}，其中log|A|是整数条目的位大小，这解决了[Kaltofen, Nehring, Saunders, Proc. ISSAC 2011]中的一个开放问题，该问题需要计算难度的假设。其次，我们给出了计算稀疏或结构化的n^2 x n矩阵的秩的证书的算法，这些证书的蒙特卡罗验证复杂度是2个矩阵-向量乘积+ n^{1+o(1)}在域中的算术运算。例如，如果$n^2敏x n$输入矩阵是稀疏的，有$n^2}{n+o(1)} {非零条目，我们的秩证书可以在 {n+o(1)} {域操作中进行验证。这也适用于只有额外的$ {A+o(1)} {因子的整数矩阵。我们所有的证书都是基于互动验证协议的，通过菲亚特-沙米尔识别启发式来消除交互。我们的验证程序的有效性取决于密码学中的标准计算难度假设。
作者：Jean-Guillaume Dumas (CASYS), Erich Kaltofen
论文ID：1401.4567
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2020-01-09