通过与奇异值展开的关系进行下采样应用$chi^2$正则化参数估计
摘要：线性方程组Axapprox b的解x是由具有方形可积核H(s,t)的病态积分方程离散化产生的。 采用Tikhonov正则化解決方案x（lambda）是通过最小化J(x) = {|Ax-b|_2^2+ lambda^2 |Lx|_2^2} 来寻找的。 x（lambda）依赖于正则化参数lambda，该参数权衡了数据的拟合度和由L确定的平滑规范。在这里，我们考虑L为对角线和可逆的情况，并使用Galerkin方法提供方形可积核的奇异值展开与奇异值分解之间的关系。积分方程的近似解允许研究正则化解x（lambda）的性质，与数据的样本大小无关。我们证明可以通过一致地降低数据和系统矩阵的采样来获得正则化参数的估计，从而得到粗到细解的解决方案。因此，可以通过将问题缩小到更小的问题或一组较小的问题来找到大问题的lambda估计值，从而将正则化参数的昂贵估计移至问题的粗略表示。此外，细尺度系统的完整奇异值分解被从粗略解决方案确定的一些主导项所取代，从而降低计算成本。数值结果说明了理论，并展示了使用广义交叉验证，无偏预测风险估计和差异原则进行正则化参数估计的方法的实用性，这些方法用于方程组和增广方程组。
作者：Rosemary A. Renaut, Michael Horst, Yang Wang, Douglas Cochran and Jakob Hansen
论文ID：1311.0398
分类：Numerical Analysis
分类简称：math.NA
提交时间：2022-08-16