计算带有Gr"obner基的临界点的复杂性
摘要：计算多项式函数$q\in\mathbb{Q}[X_1,\ldots,X_n]$在多项式$f_1,\ldots,f_p\in\mathbb{Q}[X_1,\ldots,X_n]$的零点集$V\subset\mathbb{R}^n$上的临界点，在优化和实数代数几何中有着重要的应用。这些点是一个高度结构化的多变量多项式方程组的解，涉及到雅可比矩阵的最大子式。我们研究了在输入多项式的系数具有一般性假设的情况下，使用格罗布纳基算法解决这个问题的复杂性。主要结果对已知的复杂性界限（取决于$D=max(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$）进行了细化，得到了取决于度数列表$(deg(f_1),\ldots,deg(f_p),deg(q))$的界限：我们证明格罗布纳基计算可以在$\delta^{O(\log(A)/\log(G))}$个算术运算中完成，其中$\delta$是在临界点上消失的理想的代数度，$A$和$G$是从度数序列构造的多重集合的算术和几何平均值。作为副产品，我们证明了使用格罗布纳基解决这类一般性优化问题所需的算术运算最多为$D^{O(n)}$个，这与此问题的已知最佳复杂性界限相符。最后，我们通过实验证明了这些复杂性结果，并提供了这些界限适用于应用的证据。
作者：Pierre-Jean Spaenlehauer
论文ID：1309.2138
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2014-05-26