快速线性代数求解多项式系统
摘要：多项式系统求解是数学中一个经典问题，具有广泛的应用。这使得其复杂性成为计算机科学中的一个基本问题。根据上下文，求解有不同的含义。为了保持最一般的情况，我们考虑一个解的表示，从中可以轻松地恢复出精确的解或它们的认证近似。在通用假设下，这样的表示由系统的字典序Gr"obner基给出，并由一组单变量多项式组成。计算字典序Gr"obner基的最佳已知算法的算术运算数量在$n$个变量和输入系统中方程的最大次数$d$下为$widetilde{O}(d^{3n})$。符号$widetilde{O}$表示我们忽略了$n$中的多项式因子。我们表明，这个复杂性可以降低到$widetilde{O}(d^{omega n})$，其中$2 leq omega < 2.3727$是两个密集矩阵相乘的复杂性中的指数。因此，当输入的多项式系统是通用的或达到B''ezout界限时，解决多项式系统的复杂性从$widetilde{O}(D^3)$降低到$widetilde{O}(D^omega)$，其中$D$是系统的解的数量。为了实现这个结果，我们提出了依赖于快速线性代数的新算法。当方程的次数被一个常数一致地界定时，我们提出了一个确定性算法。在无界情况下，我们提出了一个拉斯维加斯算法。
作者：Jean-Charles Faug`ere (INRIA Paris-Rocquencourt, LIP6), Pierrick Gaudry (INRIA Nancy - Grand Est / LORIA), Louise Huot (INRIA Paris-Rocquencourt, LIP6), Gu''ena"el Renault (INRIA Paris-Rocquencourt, LIP6)
论文ID：1304.6039
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2013-07-16