一个凸包问题的刻画定理和算法
摘要：在计算几何学和线性规划中，测试$p \in conv(S)$是否成立是一个基本问题。首先，我们证明了一个欧几里得距离对偶性，不同于传统的分离定理，如Farkas引理：如果对于$conv(S)$中的每个$p'$，都存在一个枢轴$v_j \in S$满足$d(p',v_j) \geq d(p,v_j)$，则$p$在$conv(S)$中。等价地，如果存在一个$p' \in conv(S)$，使得相对于$p$的Voronoi图单元包含$S$，则$p \notin conv(S)$。一个见证人将$p$与$conv(S)$分开，并在$2$的因子内近似计算$d(p, conv(S))$。接下来，我们描述了“三角形算法”：给定$0 < \epsilon < 1$，一个迭代$p' \in conv(S)$和$v \in S$，如果$d(p, p') < \epsilon d(p,v)$，则停止。否则，如果存在一个枢轴$v_j$，则用$v_j$替换$v$，用$p$在线段$p'v_j$上的投影替换$p'$。重复这个过程，算法在$O(mn \min(\epsilon^{-2}, c^{-1}\ln \epsilon^{-1}))$的算术操作内终止，其中$c$是一个常数，满足$c \geq \epsilon^2$和$\sin(\angle pp'v_j) \leq 1/\sqrt{1+c}$，对于所有的迭代$p'$。此外，我们证明了一个严格的距离对偶性和一个相关的极小化定理，得到了更有效的枢轴；描述了$O(mn \ln \epsilon^{-1})$时间复杂度的算法，可以计算一个见证人或一个良好的近似解；证明了广义距离对偶性，并描述了相应的广义三角形算法；证明了一个敏感性定理，用于分析通过三角形算法解决LP可行性问题的复杂性。三角形算法实用且具有竞争力，与单纯形法、稀疏贪婪逼近和一阶方法相比。
作者：Bahman Kalantari
论文ID：1204.1873
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2013-10-15