随机凸包的预期复杂度
摘要：凸包问题中的期望复杂度 (i) 我们展示了一些关于从一个凸形状中均匀且独立选择的$n$个点的凸包的期望复杂度的结果。我们证明了，对于从圆盘中均匀且独立选择的$n$个点，其凸包的期望顶点数是$O(n^{1/3})$，对于从具有$k$条边的凸多边形中均匀且独立选择的$n$个点，其凸包的期望顶点数是$O(k log{n})$。这些结果是已知的（参见cite{rs-udkhv-63,r-slcdn-70,ps-cgi-85}），但我们认为这里给出的基本证明更简单和更直观。 (ii) 设$D$是平面上的一组方向，我们定义了由$D$诱导的广义凸性概念，它既扩展了直角凸性又扩展了标准凸性。我们证明了从圆盘中均匀且独立选择的$n$个点的$D$-凸包的期望复杂度是$O(n^{1/3} + sqrt{nalpha(D)})$，其中$alpha(D)$是$D$中两个连续向量之间的最大角度。这个结果扩展了直角凸性和标准凸性的已知界限。 (iii) 设$B$是$Re^d$中的一个坐标轴平行超立方体。我们证明了从$B$中均匀且独立选择的$n$个点的象限凸包的边界上的点的期望数是$O(log^{d-1}n)$。点集$S$的象限凸包是对高维空间中的直角凸性的扩展。特别地，这个数目大于$S$中的极大值的数目，也大于$S$中是凸包顶点的点的数目。 这些界限是已知的（cite{bkst-anmsv-78}），但我们认为新的证明更简单。
作者：Sariel Har-Peled
论文ID：1111.5340
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2011-11-24