$Local^{3}$指标定理
摘要：$Local^{3}$指数定理意味着$Local(Local(Local; Index ; Theorem)))$。 $Local ; Index ; Theorem$是Connes-Moscovici的局部指数定理，引用自cite{Connes-Moscovici1}，cite{Connes-Moscovici2}。第二个"Local"指的是局部化到底代数的可分子环的循环同调，最后一个指的是Alexander-Spanier类型的循环同调。Connes-Moscovici的工作基于椭圆拟微分算子$A$以及与其关联的算子$R(A)=\mathbf{P}-\mathbf{e}$，其中$\mathbf{P}$和$\mathbf{e}$是幂等元，参见cite{Connes-Moscovici1}，第353页。算子$R(A)$有两个主要的优点：它是一个平滑算子，其分布核位于$M\times M$中对角线的任意小邻域内。算子$R(A)$也有两个缺点：-i)它不是幂等的（因此它没有真正的Connes-Chern特征）；-ii)即使它是幂等的，它的Connes-Chern特征也属于平滑算子的循环同调（支持为任意的），这是平凡的。本文介绍了对这两个问题提出的新解决方案。对于问题-i)，我们表明尽管$R(A)$不是幂等的，它满足恒等式$\mathbf{R}(A))^2=\mathbf{R}(A)-[\mathbf{R}(A)e+e\mathbf{R}(A)]$。我们表明只要平滑算子的循环同调复形可局部化到可分子代数$Lambda=\mathbb{C}+\mathbb{C}e$，算子$R(A)$就有一个真正的Chern特征，参见第8.1节。对于问题-ii)，我们引入了局部循环同调的概念；这是通过根据其分布支持对平滑算子的循环同调复形进行过滤来构造的，参见第7节。利用这些新的工具，我们给出了Connes-Moscovici局部指数定理的重述，参见第9节的定理23。作为定理的推论，我们表明平滑算子的局部循环同调至少与基流形的Alexander-Spanier同调一样大。Connes-Moscovici局部指数定理的现有重述为新的研究提供了途径，参见第10节。
作者：Nicolae Teleman
论文ID：1109.6095
分类：K-Theory and Homology
分类简称：math.KT
提交时间：2011-09-29