张量秩：一些下界和上界
摘要：张量秩的下界对于代数电路/公式的下界有重要影响。我们探索了张量秩的下界和上界，着重研究了明确的张量。对于奇数d，我们构造了与域无关的明确的0/1张量T：[n]^d->F，其秩至少为2n^(floor(d/2))+n-Theta(d log n)。对于d =3，这与（对于F\_2）已知的下界相匹配或改进（对于所有其他域）；对于奇数d>3，这超过了（任何域中的）已知下界。 我们还探索了排列矩阵的广义化，我们称之为排列张量。我们通过计数表明，存在一个超线性秩的3阶排列张量。我们还探索了一类自然的排列张量，我们称之为群张量。对于任何群G，我们通过T\_G^d:G^d->F定义群张量T\_G^d(g\_1,...,g\_d)=1，当且仅当g\_1 x ... x g\_d=1\_G。我们给出了这些张量秩的两个上界。第一个使用表示论并适用于大域F，显示（除其他外）rank\_F(T\_G^d)<= |G|^(d/2)。我们还证明，如果这个上界是紧的，那么将会得到超线性的张量秩下界。第二个上界使用插值仅适用于阿贝尔群G，并展示在任何域F上，rank\_F(T\_G^d) <= O(|G|^(1+log d)log^(d-1)|G|)。无论哪种情况，这表明许多排列张量的秩远非最大，这与矩阵情况非常不同，因此排除了许多高秩张量的自然候选项。 我们还研究了单调张量秩。我们给出了明确的0/1张量T：[n]^d->F，其张量秩最多为dn，但具有单调张量秩正好为n^(d-1)。这是一个几乎是最优分离。
作者：Boris Alexeev, Michael Forbes, Jacob Tsimerman
论文ID：1102.0072
分类：Computational Complexity
分类简称：cs.CC
提交时间：2012-03-05