改进的连分数在实根隔离中的复杂性界限
摘要：使用连分数算法（CF）（变体）来隔离具有整数系数的无平方因子多项式的实根的问题。我们引入了一种新颖的方法来计算一元多项式正实根的下界。这使得我们可以得出一个最坏情况的界限为$sOB(d^6 + d^4 au^2 + d^3 au^2)$，用经典的CF变体来隔离具有整数系数的多项式的实根，其中$d$是多项式的次数，$au$是其系数的最大位数。这相对于Sharma（cite{sharma-tcs-2008}）的上界改进了$d^3$倍，并且与Mehlhorn和Ray（cite{mr-jsc-2009}）为CF的另一种变体推导的界限相匹配；它也与基于子区间的解算器的最坏情况界限相匹配。我们提出了一种新的CF变体，称为iCF，在$sOB(d^5+d^4 au)$中隔离具有整数系数的多项式的实根，因此将该问题的当前已知界限改进了$d$倍。如果多项式只有实根，则我们的界限变为$sOB(d^4+d^3 au+ d^2 au^2)$，从而与Reif（cite{r-focs-1993}）和Ben-Or和Tiwari（cite{bt-joc-1990}）的数值算法的界限相匹配。实际上，后一界限在一个更一般的情况下成立，即在根据多项式系数列表的符号变化时，假设只有来自$Omega(d/lg^c{d})$，其中$cgeq 0$是一个常数。这是与Pan的数值算法（cite{Pan02jsc}）和Sch"onhage（cite{Sch82}）的确切算法相匹配的唯一界限。据我们所知，所提出的界限是基于精确计算的实根隔离问题已知的最佳界限。
作者：Elias Tsigaridas
论文ID：1010.1764
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2011-04-27