离散型高斯-波涅定理
摘要：在二维平面上，我们证明了一个原型曲率定理，该定理针对平坦三角敷设的子图G，其类似于二维欧几里得空间中的"域"：当在G的边界上求和时，Pusieux曲率K(p) = 2|S1(p)| - |S2(p)|等于12倍的欧拉特性。其中|S1(p)|是p的单位球面的弧长，|S2(p)|是半径为2的球面的弧长。这个曲率12公式是离散的高斯-波内公式或霍普夫旋转公式。这里引入的曲率受到连续体中类似构造（如测地线流的雅可比方程）的启发。对于一阶曲率K1(p) = 6-|S1(p)|，高斯-波内定理更易证明，不太"微分几何"，但适用于相当一般的二维图G=(V,E)：在整个图上求和的K1曲率等于G的欧拉特性的6倍，其中欧拉特性定义为v-e+f，其中v=|V|，e=|E|，f是三角形的数量。对于许多抽象的二维图，所有K曲率的总和是欧拉特性的60倍。什么条件下曲率60定理成立仍在调查中。在我们对曲率12定理的证明中，抽象图的维数概念起到了重要作用：有限抽象图X=(V,E)的顶点p被称为0维，如果p与任何其他顶点无连接。若G是X的子集，且G中的每个点在G中都是0维的，则称G为0维集。G的顶点p称为1维，如果S1(p)是零维的。若G的任何点都是1维的，则称有限子集G为1维。若p是G的点且S1(p)是一维图，则称p为2维。若G的每个顶点p都是2维的，则称图G为2维。
作者：Oliver Knill
论文ID：1009.2292
分类：General Topology
分类简称：math.GN
提交时间：2010-09-14