1D Dirac算子带有正则边界条件的谱分解的无条件收敛
摘要：一维Dirac算子$$ L_{bc}(v), y = i\begin{pmatrix} 1 & 0 0 & -1 \end{pmatrix} \frac{dy}{dx} + v(x) y, \quad y = \begin{pmatrix} y_1 y_2 \end{pmatrix}, \quad x\in[0, \pi],$$考虑$L^2$-势能$v(x) = \begin{pmatrix} 0 & P(x) Q(x) & 0 \end{pmatrix}$且满足正则边界条件($bc$)，具有离散的谱。 对于严格正则的$bc$，证明自由算子$L^0_{bc}$的每个本征值是简单的，形式为$\lambda^0_{k,\alpha} = k + \alpha u$， 其中$\alpha\in\{1,2\}$，$k \in 2 \mathbb{Z}$且$u = u(bc)$；如果$|k| > N(v, bc)$，则每个圆盘$D^{\alpha}_k = \{z: |z-\lambda^0_{k,\alpha}| < \rho = \rho(bc)\}$， $\alpha\in\{1,2\}$，都包含$L_{bc} (v)$的一个简单本征值$\lambda_{k,\alpha}$， 且$(\lambda_{k,\alpha} - \lambda^0_{k,\alpha})_{k\in 2\mathbb{Z}}$是一个$\ell^2$-序列。 此外，证明根投影$$ P_{n,\alpha} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D^{\alpha}_n} (z-L_{bc}(v))^{-1} dz $$满足Bari-Markus条件$$\sum_{|n| > N} |P_{n,\alpha} - P^0_{n,\alpha}|^2 < \infty, \quad n\in 2\mathbb{Z},$$其中$P^0_n$是自由算子$L^0_{bc}$的根投影。 因此，对于严格正则的$bc$，存在一个由根函数组成的Riesz基（其中除了有限个以外都是本征函数）。 类似的结果也适用于正则但非严格正则的$bc$情况--此时一般不存在由根函数组成的Riesz基，但我们证明了对应的二维根投影系统是一个投影的Riesz基。
作者：Plamen Djakov and Boris Mityagin
论文ID：1008.4095
分类：Spectral Theory
分类简称：math.SP
提交时间：2010-08-25