随机多项式与二分法求解实数问题的预期复杂度
摘要：概率分析探讨了以下问题：为什么随机多项式平均上看似乎只有少数且明显分离的实数根？为什么实数根隔离的精确算法可能表现得比数值算法还要好？我们利用Kac以及Edelman和Kostlan的结果来估计独立同分布系数的$d$次多项式的实数根分离情况：对于SO(2)多项式，第$i$个系数的方差为${d \choose i}$，而对于Weyl多项式，其方差为${1/i!}$。通过应用统计物理的结果，我们得到了\func{sturm}求解器的期望（位）复杂度为$\sOB(r d^2 \tau)$，其中$r$是实数根的数量，$\tau$是最大系数的位数。我们的界限比最糟糕情况的记录提高了两个数量级。我们还导出了最坏情况下的输出相关界限。论文的第二部分显示了当系数是独立同分布的变量且标准差适度时，Bernstein基上的$d$次多项式的实数根的期望数量是$\sqrt{2d}\pm\OO(1)$。我们的论文以实验证据来支持我们的分析。
作者：Ioannis Z. Emiris (DI), Andr\'e Galligo (JAD), Elias Tsigaridas (DI)
论文ID：1005.2001
分类：Symbolic Computation
分类简称：cs.SC
提交时间：2010-06-01