子图稀疏化与近乎最优的超稀疏化
摘要：原图谱稀疏化问题的一个变种，在这个问题中我们需要保留原图的一个子图。具体来说，给定两个加权图G和W的并集以及一个整数k，我们需要找到一个k条边的加权图W_k，使得G+W_k是G+W的一个良好的图谱稀疏化子图。我们将这个问题称为子图（谱）稀疏化问题。我们提出了一个非平凡的条件，使得存在一个良好的稀疏化子图，并给出了寻找稀疏化子图的多项式时间算法。作为我们技术的一个重要应用，我们证明对于每个正整数k，每个n个顶点的加权图具有一个（n-1+k）条边的谱稀疏化子图，相对条件数最多为 n/k * log n * O(log log n)，其中O()隐藏了低阶项。我们的上界与最优解相差不到 O(log log n)，这几乎解决了Spielman和Teng提出的有关超稀疏化子图的一个未解决问题，这是他们解决对称线性对角优势系统的几乎线性时间算法的关键组成部分之一。我们还将我们的技术应用于谱优化的另一个领域，即在有限数量的边的情况下最大化图的代数连通性（例如将其转化为扩张图）。
作者：Alexandra Kolla, Yury Makarychev, Amin Saberi, Shanghua Teng
论文ID：0912.1623
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2009-12-10