平面图的最小环基和所有节点对的次小割问题的次二次时间算法
摘要：加权无向图$G$的最小环基是$G$的环空间的一个基，使得基中的环的总权重最小。如果$G$是一个平面图且具有非负边权重，则可以在$O(n^2)$的时间和空间内找到这样一个基，其中$n$是$G$的大小。我们显示了如果需要基的显式表示，则这是最优的。然后，我们提出了一个$O(n^{3/2}log n)$的时间和$O(n^{3/2})$的空间算法，用于隐式计算最小环基。从这个结果中，我们得到了一个输出敏感的算法，该算法显式地计算出一个最小环基在$O(n^{3/2}log n + C)$的时间和$O(n^{3/2} + C)$的空间内，其中$C$是基中的环的总大小（边和顶点的数量）。当$G$是无权重的时，这些界限分别降低到$O(n^{3/2}log n)$和$O(n^{3/2})$。对于所有对最小割问题，由于它在平面图中的最小环基问题中是对偶等价的，我们得到类似的结果。我们还获得了分别为$G$的权重向量和Gomory-Hu树找到的$O(n^{3/2}log n)$时间和$O(n^{3/2})$空间的算法。这两个问题的先前最佳时间和空间界是二次的。从我们的Gomory-Hu树算法中，我们得到以下结果：预处理时间为$O(n^{3/2}log n)$和$O(n^{3/2})$的空间，$G$中任意两个给定顶点之间的最小割的权重可以同时报告。以前，这样的预处理所需的oracle需要二次时间和空间。该oracle还可以扩展到报告与其大小成比例的实际割。
作者：Christian Wulff-Nilsen
论文ID：0912.1208
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2009-12-08