你可以简化微积分
摘要：直接微积分的研究方法: 函数作为我们理论的主要对象，分别视为使用一定类别的函数中的 f(x)-f(a) 除以 x-a 来进行微分和积分的工具，而不是依赖于实数、极限和连续性的一般观念。在 f 是一个多项式时，可以明确地进行除法运算。通过估计|f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)|<=K(x-a)^2，我们可以了解为什么具有正导数的多项式是增加的（单调性定理）。通过将其定义为统一Lipschitz可微性（ULD）的概念，我们看到ULD函数的导数是Lipschitz的。通过采用与|.|不同的连续模化指数，我们获得了不同风格的微积分，每个风格相当基础，但总体上涵盖了连续可微函数的全部范围。通过使用在 a 处连续的函数，我们重新捕捉了点 a 处可微性的经典定义。我们还看到，在两个变量 x 和 a 的Lipschitz函数类中，ULD等价于 f(x)-f(a)可被 x-a 整除。对于任何亚可加性连续模化指数，类似的事实也是正确的。在这种自下而上的计算方法中，一次只考虑一个连续模化指数，单调性定理占据了核心地位，并提供了对实际应用重要的主题。紧致性和完备性的重要的本体问题可以轻松处理或推迟，因为它们在这种流线型的方法中几乎没有使用，该方法基本上遵循弗拉基米尔·阿诺德的“最小一般性原则，即每个想法应该首先在最简单的情况下理解;只有在方法发展到更复杂的情况时才能应用。”我简要讨论了对多个变量的推广。
作者：Michael Livshits
论文ID：0905.3611
分类：History and Overview
分类简称：math.HO
提交时间：2009-05-25