关于三维空间中的直线、关节和相交的研究
摘要：在三维空间中，我们扩展并简化了Guth和Katz的代数证明技术，得到了关于线和点之间的相交数量的几个尖锐界限。特别地，我们展示了以下结果：(i) 在三维空间中，$n$条线和它们的$m$个交点（至少与三条非共面线相交）之间的相交数量的最大可能值是$Theta(m^{1/3}n)$， 当$m \ge n$时；此外，当$m \le n$时，相交数量的界限是$Theta(m^{2/3}n^{2/3}+m+n)$；(ii) 特别地，这样的相交数量不会超过$O(n^{3/2})$；(iii) 在$n$条线和$m$个任意点（不一定是交点）之间的相交中，只要没有平面包含超过$O(n)$个点，并且每个点至少与三条线相交，那么界限（i）中的结果仍成立。作为一个初步步骤，我们给出了Guth和Katz对于$n$条线的交点数量的界限$O(n^{3/2})$的一个简化证明。我们还展示了这些界限的一些进一步扩展，并给出了关于点与线在三维空间中的相交数量的Bourgain猜想的证明，这是比Guth和Katz证明更简单的选择。
作者：Gy"orgy Elekes and Haim Kaplan and Micha Sharir
论文ID：0905.1583
分类：Computational Geometry
分类简称：cs.CG
提交时间：2009-05-12