二分图的立方性
摘要：一个$k$维（或$k$维立方体）的单位立方体被定义为笛卡尔积$R_1\times R_2\times ...\times R_k$，其中每个 $R_i$ 是形如$[a_i, a_{i+1}]$的实数线上的闭区间。图$G$的立方度（cubicity），表示为$cub(G)$，是使$G$成为$k$维立方体集合的交集图的最小$k$值。许多NP完全的图问题可以在立方度较低的图中高效地解决或具有良好的近似比。在这些情况下，首先要将给定图转换为低维立方体表示。 已知对于一个图$G$，有$cub(G)\leq\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor$。最近的研究表明，对于一个图$G$，有$cub(G)\leq 4(\Delta + 1)\ln n$，其中$n$和$\Delta$分别为$G$的顶点数和最大度数。在本文中，我们证明了对于一个二分图$G=(A\cup B, E)$，其中$|A|=n_1, |B|=n_2, n_1\leq n_2$，并且$\Delta'=\min\{\Delta_A,\Delta_B\}$，其中$\Delta_A=\max_{a\in A}d(a)$，$\Delta_B=\max_{b\in B}d(b)$，$d(a)$和$d(b)$分别表示$G$中顶点$a$和$b$的度数，有$cub(G)\leq 2(\Delta'+2)\lceil \ln n_2 \rceil$。我们还给出了一个高效的随机化算法，用于在$3(\Delta'+2)\lceil \ln n_2 \rceil$维中构造$G$的立方体表示。读者可能注意到，通常$\Delta'$可以远小于$\Delta$。
作者：L. Sunil Chandran, Anita Das, Naveen Sivadasan
论文ID：0810.2697
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2008-10-16