周长、色数与在线着色
摘要：Erdos猜想，如果$G$是一个色数至少为$k\geq 3$的无三角形图，则它包含一个长度至少为$k^{2-o(1)}$的奇数环。迄今为止，没有比线性边界更好的结果。我们通过展示$G$包含一个长度至少为$O(k\log\log k)$的奇数环，取得了对这个猜想的进展。已知Erdos的猜想对于周长至少为5的图成立。我们证明对于周长为4的图且不含$C_5$，Erdos的猜想成立。当顶点数不太大时，我们可以证明$chi$的更好上界。我们还给出了具有至多$r$个长度模$k$余1的环，或者至多$s$个长度模$k$余2的环，或者没有长度模$k$余3的环的图的色数的上界。我们的技术主要包括使用深度优先搜索树将图分解为有序路径，然后将其输入到在线着色算法中。使用这种技术，我们对一些旧结果给出了简单的证明，也得到了一些更简单的结果。我们还对无三角形图在线着色算法所需使用的颜色数量给出了一个下界。
作者：Ajit A. Diwan, Sreyash Kenkre, Sundar Vishwanathan
论文ID：0809.1710
分类：Discrete Mathematics
分类简称：cs.DM
提交时间：2008-09-11